Примерная суть задачи:

Дан массив A из N целых чисел (N порядка 10⁸) и целое K (K < 10⁶). Необходимо для каждого i от 1 до N – K + 1 найти min(A[i], A[i + 1], … A[i + K - 1]). Иначе говоря, в каждых K последовательных элементах массива найти минимальный. Время работы 2-3 секунды.

Лобовое решение имеет временную оценку примерно O(NK). Более умное, с использованием дерева отрезков, сбалансированных двоичных деревьев или чего-то подобного — O(NlogK). Но, к сожалению, это не достаточно быстро — необходима строго линейная зависимость времени работы от размера входных данных.

Для начала слегка преобразуем задачу. Пойдем по данному массиву слева направо и будем добавлять его элементы в очередь. При этом, если в размер очереди становится ровно K + 1, будем сразу выбрасывать из нее один элемент. Теперь задача в следующем: в каждый момент нам нужно уметь за константное (O(1)) время находить минимум в очереди. Как это сделать?

Сначала научимся делать то же самое в стеке. Для этого, параллельно со стеком S1, где хранятся сами элементы, заведем еще один — S2. При помещении числа X в первый стек, во второй будем помещать min(X, top(S2)), где top(S2) — элемент, находящийся на вершине стека S2. Тогда в каждый момент времени i-й элемент (считая снизу) в стеке S2 будет минимумом из нижних i элементов стека S1, а, следовательно элемент на вершине стека S2 будет минимумом из всех элементов стека S1. Очевидно, что это свойство также будет сохраняться при одновременном выталкивании элементов из стеков. Так как получение верхнего элемента стека осуществляется за константное время, то для стека задача решена.

Теперь попробуем применить полученный результат к нашей задаче. Идея указана в заголовке статьи — смоделируем очередь двумя стеками T1 и T2. Класть новые элементы будем только в T1. Забирать — только из T2. При этом, если в стеке T2 пусто, то нужно перенести в него все элементы из T1. Очевидно, что над каждым элементом выполняется максимум 3 константные операции, и, как следствие, получаем амортизированную линейную зависимость времени работы от количества операций.

Далее — дело техники: найти минимум в каждом из стеков мы уже можем, а минимум в очереди будет min(min(T1), min(T2)), где min(T1), min(T2) — минимум в стеке T1 или T2 соответственно.

UPD: Реализация на C++

P.S. Бонус – What a wonderful world by Louis Armstrong:

Скачать в mp3

Начнем с приветствия выпускникам-отличникам, крутящегося на плазменных телевизорах в корпусах, а затем и на сцене. Эффект от небрежно слепленной в PowerPoint презентации дополняло изумительно подобранное сочетание красного текста на синем фоне. Данное сочетание, кстати, встречалось и далее по ходу церемонии.

Теперь немного типографики – интересно, только я не замечаю разницы между дефисом и тире?

Неужели так трудно было скопировать все файлы заранее?

Первой выступала группа, название которой запомнить (или услышать?) не удалось. Все вроде бы хорошо, но зачем они держали в руках домбры, которых не было слышно из-за уж очень громких ударных, нам так и не удалось понять. И что это за мода такая пошла – смешивать национальные инструменты с попсой, в результате чего ни того, ни другого не остается, и слушать просто нечего?

Затем в бой пустили тяжелую артиллерию – команду КВН «Технарь». Парочка «баянов» с выступления, если не ошибаюсь, сборной Казахстана поначалу вызвали скептическое отношение, но затем они быстро исправились и шуткой «- Назовите синоним к слову «недоношенный». – Бакалавр» расположили публику к себе. Надеюсь, днем раньше, на вручении дипломов бакалаврам, они не показывали этот номер…

Видимо руководство решило, что КВН разогреет публику и выпустило после них довольно странно одетого певца, почему-то напомнившего Диму Билана. И неужели нельзя было подождать окончания выступления, чтобы вынести стулья для оркестра? Не думаю, что парню было удобно выступать, когда за спиной суетились люди. Кстати, обратите внимание на фон – опять красное на синем.

Вообще мне нравится инструментальная музыка, но целых три национальных мелодии подряд я выдерживаю с трудом.

И, наконец, на десерт нам оставили номер, который мне действительно понравился, – девушка безупречно исполнила красивую песню на английском языке. Единственный его недостаток в том, что он был всего один

А эти девушки несколько часов подряд стояли около внутреннего входа в нефтяной корпус, а затем вокруг фонтана, чтобы в конце ненадолго выйти на сцену и спеть (хотя мы были уверены, что они должны что-то танцевать). Причем и пения слышно не было – все заглушала слишком громкая музыка.

Она все-таки началась – церемония вручения. Да и церемонией ее можно назвать с трудом. Нормально были «обработаны» только различные активисты, а нас, простых «выпускников-отличников», прогоняли лишь бы побыстрее отделаться. И, как всегда это бывает, вследствие невысокой пропускной способности сцены (человек 10 в минуту), у входа на нее столпилась очередь.

Ну и с началом «прогонки» во дворе начался всем привычный бардак.

В целом получилось что-то вроде колхозной самодеятельности: суета на сцене, непопадающие в мелодию исполнители (кроме, как я уже говорил, песни на английском), тупое исполнение нескольких номеров подряд (кроме, как я тоже говорил, единственного достойного номера). Зато в отчетах будет значится: пригласили того-то, выступали те-то и т.д.

Ну и, наконец, сам виновник торжества:

Отписал автору, посмотрим, может что-нибудь сделает, а пока такой баг-фикс:

• копируем ok3.utf8.js себе, если раньше этого не сделали, и в ok3.php соответствующим образом изменяем путь подключения скрипта;
• находим в нем строку html+=’<a href=»‘+this.url(i+1)+…;
• убираем из нее вызов обработчика onclick.

Дополнительные плюсы:

• скрипт будет грузиться с вашего сервера – меньше нагрузки на odnaknopka.ru и меньше время ожидания пользователя;
• при нажатии на ссылку не будет захода на odnaknopka.ru – у автора немного уменьшится статистика, но пользователю будет гораздо удобнее.

И еще одна недоработка. Скрипт подключается каждый раз при выводе ссылок на закладки, что, когда много постов, не очень хорошо. Выход переносе кода добавления скрипта в head (для чего меняем ok3.php).

P.S. Автор на своем сайте сказал, что код можно изменять при условии оставления ссылки на odnaknopka.ru, а также сам рекомендует хостить ok3.utf8.js у себя на сайте, так что все законно

Главной неудачей можно считать непрохождение в финал ACM ICPC 2008. Странно, что даже не то, что мы не прошли, хотя по мнению многих вполне могли бы, а то, что случилась та же ситуация, что и на финале – мозги отказали работать, что можно видеть по времени сдачи задачи B. Надеюсь в следующем году такого не будет.

Относительно небольшие, «обычные» неудачи: пролет в TCO’07 (объясняемый тем, что раунд я писал в санатории недалеко от города Кокшетау, условий не было никаких, и весь день перед этим занимался подготовкой республиканской олимпиады школьников), и TCCC’07 (не объяснимый ).

Радует двойное попадание в десятку на TopCoder и хорошее повышение рейтинга, что позволяет надеятся на хороший результат в TCO’08 .

Ну и просто интересные события:

• в марте съездил в г. Кокшетау, где проходила республиканская олимпиада школьников, на которой впервые большая часть задач была моего авторства (так же попутно познакомился с несколькими интересными людьми )
• в мае съездил в Москву по приглашению Google, от собеседования пока отказался, но возможно в будущем…
• в августе в третий раз был на сборах в Петрозаводске, выступал совместно со знаменитой командой MSU SE, получилось довольно неплохо .